La Matrice de l'Analyse du Cycle de Vie

mardi 07 juin 2022

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Dans l'article précédent, nous avons

  • présenté le cadre théorique de l'ACV : fonction, système, étapes du cycle de vie
  • décrit en quoi consiste la modélisation en ACV
  • touché du doigt la difficulté de calculer l'impact total sur l'environnement à partir d'un modèle ACV

Nous présentons ici comment aborder ce calcul.

Exemple

Reprenons un exemple simple.

modèle simple

Nous avons

  • trois produits XX, AA, et BB
  • trois processus (les boîtes), que nous nommerons, pour simplifier, par l'unique produit qu'ils produisent : XX, AA et BB.
  • chaque processus pp émet (unitairement) directement dans l'environnement une quantité ιp\iota_p de CO2-eq
ιA=1 kg CO2-eqιB=5 kg CO2-eqιX=2 kg CO2-eq\begin{aligned} \iota_A &= 1 ~\text{kg CO2-eq}\\ \iota_B &= 5 ~\text{kg CO2-eq}\\ \iota_X &= 2 ~\text{kg CO2-eq}\\ \end{aligned}

Et nous cherchons à calculer l'impact total ϕX\phi_X (en kg CO2-eq) de la production d'une unité de XX. Pour cela, il est utile d'introduire également :

  • ϕA\phi_A, impact total de la production d'une unité de AA
  • ϕB\phi_B, impact total de la production d'une unité de BB

En se rappelant l'hypothèse fondamentale de linéarité des processus unitaires, nous interprétons le graphe de la manière suivante

  • 1 unité de A émet directement 1 kg CO2-eq
  • 1 unité de B émet directement 5 kg CO2-eq
  • 1 unité de X
    • requiert 3 unités de A, soit 31=33 \cdot 1 = 3 kg CO2-eq
    • requiert 5 unités de B, soit 55=255 \cdot 5 = 25 kg CO2-eq
    • émet directement 2 kg CO2-eq

L'impact total est donc 2+5+3=102 + 5 + 3 = 10 kg CO2-eq. Cela se traduit en équation

ϕA=ιAϕB=ιBϕX=3ϕA+5ϕB+ιX\begin{aligned} \phi_A &= \iota_A\\ \phi_B &= \iota_B\\ \phi_X &= 3 \phi_A + 5 \phi_B + \iota_X \end{aligned}

Dans ce cas simple, on le résoud directement

ϕX=3ϕA+5ϕB+ιX=31+55+2 kg CO2-eq=30 kg CO2-eq\begin{aligned} \phi_X &= 3 \phi_A + 5 \phi_B + \iota_X\\ &= 3 \cdot 1 + 5 \cdot 5 + 2 ~\text{kg CO2-eq}\\ &= 30 ~\text{kg CO2-eq} \end{aligned}

Reformulation

Linéarité des processus unitaires

On peut reformuler la section précédente dans le cadre un petit peu plus général des processus à nn sorties et mm entrées. En effet, un tel processus pp se caractérise par

  • pour chaque sortie oo du processus, une quantité qoq_o d'unités de produit oo
  • pour chaque entrée ii du processus, une quantité qiq_i d'unités de produit ii
  • des émissions directes dans l'environnement associées à l'exécution du processus pp, que l'on résume ici par un unique nombre ιp\iota_p

L'hypothèse fondamentale de linéarité prend la forme suivante

 processus p,oqoϕo=iqiϕi+ιp\forall~\text{processus}~p, \sum_o q_o \cdot \phi_o = \sum_i q_i \cdot \phi_i + \iota_p

ou encore

 processus p,oqoϕoiqiϕi=ιp\forall~\text{processus}~p, \sum_o q_o \cdot \phi_o - \sum_i q_i \cdot \phi_i = \iota_p

Forme matricielle

En notant ϕ\phi le vecteur (colonne) des ϕx\phi_x pour tous les produits xx, ι\iota le vecteur (colonne) des ιp\iota_p pour tous les processus pp, on peut résumer ce système d'équations linéaires par une équation matricielle

ϕ=ι\nabla \cdot \phi = \iota

\nabla (prononcer nabla) est une matrice indexée en ligne par les processus pp, en colonne par les produits xx, et définie par

px={+coefficient de x dans psi x est un produit en sortie de pcoefficient de x dans psi x est un produit en entreˊe de p0sinon\nabla_{p x} = \begin{cases} +\text{coefficient de $x$ dans $p$} & \text{si $x$ est un produit en sortie de $p$} \\ -\text{coefficient de $x$ dans $p$} & \text{si $x$ est un produit en entrée de $p$} \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}

La matrice \nabla caractérise complètement le modèle. Elle est connue, en théorie des (hyper) graphes, comme la matrice d'incidence associée au (hyper) graphe du modèle.

Calculs des impacts totaux par inversion

Le calcul des impacts totaux pour chacun des produits se fait alors en inversant la matrice \nabla

ϕ=1ι\phi = \nabla^{-1} \cdot \iota

Noter que la matrice \nabla n'est pas toujours inversible (par exemple, lorsqu'elle n'est pas carrée). Il est remarquable de constater que la non-inversibilité de la matrice se résout généralement par des décisions méthodologiques non triviales.

Il y a plus de processus pp que de produits xx : processus de marché

Cela arrive lorsque, par exemple, deux processus pp et qq produisent un même produit xx. On peut imaginer par exemple que l'électricité (produit xx) puisse provenir d'une centrale nucléaire (processus pp) ou d'une centrale thermique ( processus qq).

Pour éviter cet écueil, il est d'usage de modifier le modèle en remplaçant le produit xx par :

  • un produit xpx_p spécifique "électricité de la centrale nucléaire", produit uniquement par le processus "centrale nucléaire" pp
  • un produit xqx_q spécifique "électricité de la centrale thermique", produit uniquement par le processus "centrale thermique" qq
  • un processus "marché de l'électricité" mm
    • qui a pour seul produit, le produit "électricité" xx
    • qui a pour entrées les produits "électricité de la centrale nucléaire" et "électricité de la centrale thermique"

Noter qu'il y a une décision de modélisation à prendre ici. En effet, l'analyste doit choisir des coefficients pour les entrées du processus "marché de l'électricité". C'est, d'une certaine manière, cette ambiguïté qui empêche la première matrice d'être inversible.

Il y a plus de produits xx que de processus pp : allocation

Cela arrive lorsque, par exemple, un processus pp a deux produits xx et yy en sortie. Ainsi, le processus pp de "transformation de vache" peut avoir du "lait" xx et de la "viande" yy en sortie.

Dans ce cas, on modifie le modèle en remplaçant le processus pp par :

  • un processus pxp_x "transformation de vache pour faire du lait" qui est le seul processus produisant du "lait" xx, avec les mêmes entrées que le processus pp
  • un processus pyp_y "transformation de vache pour faire de la viande" qui est le seul processus produisant de la " viande" yy, avec les mêmes entrées que le processus pp
  • un choix d'une allocation de l'émission directe ιp\iota_p pour chacun des processus pxp_x et pyp_y : quelle proportion de l'émission directe ιp\iota_p de pp est attribuée respectivement à pxp_x et pyp_y ?

Encore une fois, le dernier point une décision de modélisation à prendre. Lors de la transformation "physique" d'une vache en lait et viande, quelle part revient au lait ? quelle part revient à la viande ? C'est cette nouvelle ambiguïté qui empêche la première matrice d'être inversible.

Le modèle contient des boucles divergentes

La formulation matricielle a l'avantage de s'accommoder très simplement des boucles : en effet, rien n'empêche le modèle de contenir des boucles tant que la matrice LL est inversible. Mais il est simple d'imaginer un cas où une boucle empêche l'inversion :

  • un processus pp produit une unité de xx en consommant une unité de yy
  • un processus qq produit une unité de yy en consommant une unité de xx

Alors =(1111)\nabla = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, qui n'est pas inversible (déterminant nul). D'une certaine manière on conçoit, sur cet exemple, que "rien ne diminue lorsqu'on tourne sur la boucle".

Par contre, il suffit d'"atténuer à chaque passage de la boucle" pour s'en sortir

  • un processus pp produit une unité de xx en consommant une unité de yy
  • un processus qq produit une unité de yy en consommant une demi-unité de xx

Alors =(10.511)\nabla = \begin{pmatrix} 1 & -0.5 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, qui est inversible.

Remarques finales

Nous avons considéré l'impact total ϕx\phi_x d'un produit xx comme un scalaire, par exemple, une quantité de kg CO2-eq. Il est bien sûr possible de reformuler l'ensemble de l'article dans le cas où ϕx\phi_x est, entre autres, un vecteur dont chaque entrée correspondrait à un type de substance émise dans l'environnement, ou bien un indicateur ACV classique (changement climatique, déforestation, etc.). Cela complique le nombre de dimensions, mais ne change rien aux principes.

Conclusion

Nous avons, dans cet article :

  • introduit une représentation matricielle \nabla d'un modèle ACV, qui n'est autre que la matrice d'incidence associé au (hyper) graphe du modèle.
  • dérivé l'équation fondamentale de l'ACV
ϕ=ι \nabla \cdot \phi = \iota
  • lié les conditions d'inversibilité de la matrice \nabla à trois opérations méthodologiques
    • l'introduction de processus de marché
    • l'allocation d'émissions directes à plusieurs processus assimilés
    • l'atténuation de boucles divergentes

Il y a sans doute beaucoup à dire encore sur les mathématiques de l'ACV

  • relations entre la modélisation en ACV et la modélisation Walrassienne (théorie de l'équilibre générale).
  • analogie avec la théorie du potentiel (ϕ\phi) et courant (ι\iota), \nabla jouant le rôle d'une dérivation.
  • cas de coefficients stochastiques dans la matrice \nabla ou le vecteur ι\iota, par exemple, pour modéliser les incertitudes.

Choses que l'on réserve pour de futurs articles.

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